Famille de fonctions
Cette section présente plusieurs familles de fonctions qui peuvent être obtenues par transformations à partir des fonctions usuelles.
Droite
L'équation générale d'une droite, non parallèle à l'axe des ordonnées et de coefficient angulaire (ou pente) $a$, est $y = ax + b$. L'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est $x = a$.
De manière générale, l'équation d'une droite dans le plan est $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls, c'est-à-dire $(a, b) \neq (0, 0)$.
- si $b = 0$, il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées dont l'équation est $\displaystyle x = -\frac{c}{a}$ ;
- si $b \neq 0$, l'équation est $\displaystyle y = -\frac{a}{b} x + \left( -\frac{c}{b} \right)$.
Si on a deux points $(x_A, y_A)$ et $(x_B, y_B)$ par lesquels passe la droite, son coefficient angulaire est donné par :
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$$Dans un repère où les échelles des axes sont les mêmes, le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle $\alpha$ que la droite fait avec l'axe des $x$. On prend cet angle entre $-90^\circ$ et $90^\circ$ (ou entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ en radians).
On peut établir des propriétés caractérisant le parallélisme et la perpendicularité entre deux droites $d_1 \equiv y = a_1x + b_1$ et $d_2 \equiv y = a_2x + b_2$ :
- Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient angulaire : $$d_1 ~//~ d_2 \iff a_1 = a_2.$$
- Le coefficient angulaire d'une droite est égal à la tangente de l'angle orienté dont le côté origine est l'axe des abscisse et l'extrémité est la droite.
- Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont perpendiculaires si et seulement si le coefficient angulaire de l'une est l'opposé de l'inverse de l'autre : $$d_1 \perp d_2 \iff a_1 = -\frac{1}{a_2}.$$
Parabole
Une fonction quadratique s'obtient par manipulation de la fonction carré. Sa forme générale est :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x) = ax^2 + bx + c, \end{array}$$où $a \neq 0$. Le graphe de cette fonction est une parabole en forme de montagne lorsque $a > 0$ et en forme de vallée lorsque $a < 0$. Le point le plus haut (ou le plus bas) de la parabole est appelé son sommet.
Une propriété immédiate est qu'on peut réécrire toute fonction quadratique sous la forme suivante, en complétant la fonction en trinôme carré parfait :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x) = a(x - x_t)^2 + y_t, \end{array}$$où $(x_t, y_t)$ est le sommet de la parabole avec :
$$x_t = -\frac{b}{2a} \qquad\textrm{et}\qquad y_t = c - \frac{b^2}{4a}.$$On obtient cette fonction à partir de la fonction carré $c(x) = x^2$ par les opérations suivantes :
$$f(x) = a \cdot c\left( x - x_t \right) + y_t.$$Fonction homographique
Une fonction homographique s'obtient par manipulation de la fonction inverse. Sa forme générale est :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} \;\setminus \displaystyle\left\{ -\frac{d}{c} \right\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \displaystyle f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}, \end{array}$$où $a, b, d \in \mathbb{R}$, $c \in \mathbb{R}_0$ et le numérateur n'est pas un multiple du dénominateur. Une propriété immédiate est qu'on peut réécrire toute fonction homographique sous la forme suivante :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} \;\setminus \{ -p \} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \displaystyle f(x) = m + \frac{n}{x + p}. \end{array}$$On obtient cette fonction à partir de la fonction inverse $i(x) = 1/x$ par les opérations suivantes :
$$f(x) = m + n \cdot i(x + p).$$La droite $y = a / c$ est une asymptote horizontale et la droite $x = -d / c$ est une asymptote verticale du graphe de la fonction homographique.
Fonction puissance et racine
Une fonction puissance est une fonction de la forme :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x) = x^n, \end{array}$$où $n \in \mathbb{N}_0$ est l'exposant. Le graphe des fonctions puissances passe par l'origine et par le point $(1, 1)$ et admet l'axe des $x$ comme tangente à l'origine.
Une fonction racine est une fonction de la forme :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} D & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x) = \sqrt[n]{x}, \end{array}$$où $n \in \mathbb{N}_0 \setminus \{1\}$ et $D = \mathbb{R}^+$ lorsque $n$ est pair et $D = \mathbb{R}$ si $n$ est impair. Le graphe des fonctions racines passe par l'origine et par le point $(1, 1)$ et admet l'axe des $y$ comme tangente à l'origine.
Polynôme et fonction rationnelle
Une fonction polynomiale (ou simplement un polynôme) est une fonction de la forme :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0, \end{array}$$où les $a_i \in \mathbb{R}$, avec $a_n \neq 0$, sont appelés les coefficients du polynôme. La valeur $n$ est appelée degré du polynôme.
Le très important théorème de factorisation s'énonce comme suit :
Si $f(x)$ est un polynôme de degré $n$ où $n \geq 1$ et si $a$ est un nombre réel tel que $f(a) = 0$, alors il existe un polynôme $g(x)$ de degré $n - 1$ tel que $f(x) = (x - a)g(x)$.
Par conséquent, n'importe quel polynôme peut être écrit sous la forme générale suivante :
où les $a_i \in \mathbb{R}$ et où $h(x)$ est un polynôme qui n'a pas de racine.
Une conséquence immédiate est que :
- un polynôme quelconque de degré $n$, avec $n \geq 1$, a au plus $n$ racines ;
- un polynôme quelconque de degré $n$, avec $n$ impair, a au moins une racine.
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} \;\setminus \{ x \in \mathbb{R} \mid b(x) = 0 \} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \displaystyle f(x) = \frac{a(x)}{b(x)} = \frac{a_0 + a_1x + ... + a_nx^n}{b_0 + b_1x + ... + b_mx^m}, \end{array}$$où les polynômes $a(x)$ et $b(x)$ n'ont pas de racine commune. Les racines du numérateur $a(x)$ sont également racines de la fonction $f(x)$. À chaque racine du dénominateur $b(x)$ correspond une asymptote verticale. Il n'y a d'asymptote horizontale que si $n \leq m$ :
- si $n = m$, la droite d'équation $\displaystyle y = \frac{a_n}{b_n}$ est l'asymptote horizontale ;
- si $n < m$, l'axe des $x$ est l'asymptote horizontale.