Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, c'est-à-dire une fonction de $\mathbb{N}_0$ dans $\mathbb{R}$. Les éléments de la suite sont appelés termes de la suite.
Une suite $(u_n)$ est déterminée lorsqu'on connait son premier terme $u_1$ et son terme général $u_n$. On peut définir le terme général de deux façons différentes :
- une formule explicite donne sa valeur en fonction de $n$ ;
- une formule de récurrence donne sa valeur en fonction du terme précédent.
Le premier terme n'est pas nécessaire dans le premier cas, car il peut être calculé, mais doit être précisé dans le second cas.
Suite arithmétique
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ lorsque pour tout $n \in \mathbb{N}_0$ :
$$u_{n + 1} = u_n + r,$$c'est-à-dire que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante et vaut $r$.
Voici deux propriétés relatives aux suites arithmétiques :
- Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et de raison~$r$, alors, pour tout naturel $n \in \mathbb{N}_0$ : $$u_n = u_1 + (n - 1)r.$$
- La somme des $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique $(u_n)$, dont le premier terme est $u_1$ et le dernier $u_n$, est égale au produit du nombre $n$ de termes par la demi-somme des termes extrêmes : $$S_n = n \left( \frac{u_1 + u_n}{2} \right).$$
De cette seconde propriété, et en considérant la suite $(u_n) = (n)$, c'est-à-dire la suite des nombres naturels $1, 2, ..., n$, on trouve que la somme de ses termes vaut :
$$\sum_{i = 1}^n i = \frac{n (n + 1)}{2}.$$Suite géométrique
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R} \setminus \{ 0, 1 \}$ lorsque pour tout $n \in \mathbb{N}_0$ :
$$u_{n + 1} = u_n q.$$Voici trois propriétés relatives aux suites géométriques :
- Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison~$q$, alors, pour tout naturel $n \in \mathbb{N}_0$ : $$u_n = u_1 q^{n - 1}.$$
- La somme des $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_n)$, dont le premier terme est $u_1$ et le dernier $u_n$, est égale à : $$S_n = u_1 (1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1}) = u_1 \left( \frac{1 - q^n}{1 - q} \right).$$
- Quels que soient le réel $q \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}$ et le naturel $n \in \mathbb{N}_0$ : $$1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}.$$