Nombre dérivé et fonction dérivée
On considère une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$, un réel $a \in \textrm{dom}~f$, un intervalle $I$ centré en $a$ inclus dans le domaine de $f$ et enfin un réel $h$ tel que $a + h$ (encore noté $x$) appartienne $I$.
L'accroissement de la variable $x$ en $a$ est $h$ ou $x - a$ et l'accroissement de la fonction $f$ en $a$ est $f(a + h) - f(a)$ ou $f(x) - f(a)$. Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est :
$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad\textrm{ou}\qquad \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$$La fonction $f$ est dite dérivable en le réel $a$ si la limite suivante existe :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad\textrm{ou}\qquad f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a},$$et vaut un nombre réel, dans lequel cas elle est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$. La fonction $f$ est dérivable sur une partie $A$ de $\mathbb{R}$ si $f$ est dérivable en tout point de $A$. Le domaine de dérivabilité d'une fonction $f$, noté $\textrm{dom}_d~f$, est l'ensemble des réels en lesquels $f$ est dérivable.
La fonction dérivée de $f$ (ou simplement la dérivée de $f$), est la fonction qui associe à chaque réel $x$ en lequel $f$ est dérivable, le nombre dérivé de $f$ en $x$. On la note $f' : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f'(x)$ et $\textrm{dom}~f' = \textrm{dom}_d~f$.
Enfin, la fonction $f$ est dérivable à gauche (resp. à dérivable à droite) en le réel $a$ si la limite suivante existe :
$$f_G'(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad\textrm{ou}\qquad f_G'(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a},$$ $$\displaystyle\left(\textrm{resp. } f_D'(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \quad\textrm{ou}\quad f_D'(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right).$$Voici quelques propriétés importantes sur la notion de dérivabilité :
- Soit une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et un réel $a \in \textrm{dom}~f$ tels que $f_G'(a)$ et $f_D'(a)$ existent mais sont distinctes, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$.
- Soit une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et un réel $a \in \textrm{dom}~f$ tels que $f_G'(a)$ et $f_D'(a)$ existent et sont égales, alors $f$ est dérivable en $a$.
- Soit une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et un réel $a \in \textrm{dom}~f$ tels que $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Attention que la réciproque de la dernière propriété est fausse, une fonction continue n'est pas forcément dérivable comme par exemple $f(x) = |x|$ continue en $x = 0$, mais pas dérivable en ce point.
Dérivée de fonction usuelle
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| $k \quad (k \in \mathbb{R})$ | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $|x|$ | $\left\{ \begin{array}{ll} -1 & \textrm{si } x < 0 \\ 1 & \textrm{si } x > 0 \end{array} \right.$ | $\mathbb{R}_0$ |
| $x^n \quad (n \in \mathbb{N}_0)$ | $nx^{n - 1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\frac{1}{x}$ | $\displaystyle-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}_0$ |
| $\displaystyle \frac{1}{x^n} \quad (n \in \mathbb{N}_0 \setminus \{ 1 \})$ | $\displaystyle -\frac{n}{x^{n + 1}}$ | $\mathbb{R}_0$ |
| $\sqrt{x}$ | $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\mathbb{R}_0$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\tan x$ | $\displaystyle 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ | $\displaystyle \mathbb{R} \;\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \;\Big|\; k \in \mathbb{Z} \right\}$ |
| $\arcsin x$ | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ |
| $\arccos x$ | $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ |
| $\arctan x$ | $\displaystyle \frac{1}{1 + x^2}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln x$ | $\displaystyle \frac{1}{x}$ | $\mathbb{R}_0$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
On peut également utiliser les propriétés suivantes pour calculer des dérivées. Soient les fonctions $f$ et $g$ dérivables en $a$, alors $f + g$, $f - g$ et $fg$ sont dérivables en $a$ et $\frac{f}{g}$ est dérivable en $a$ si $g(a) \neq 0$. De plus, on a :
- $(f + g)' = f' + g'$ ;
- $(f - g)' = f' - g'$ ;
- $(fg)' = f'g + fg'$ ;
- $(kf)' = kf' \quad(k \in \mathbb{R})$ ;
- $\displaystyle \left( \frac{1}{f} \right)' = -\frac{f'}{f^2}$ ;
- $\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
Dérivée de composée de fonction
Soient la fonction $f$ dérivable en $a$ et la fonction $g$ dérivable en $f(a)$, alors la dérivée de la composée se calcule comme suit :
$$(g \circ f)'(a) = g'\big(f(a)\big) \cdot f'(a).$$Interprétation graphique
La dérivée d'une fonction en un point $a$ donne la pente de la droite tangente au graphe de cette fonction en ce point. Les quelques propriétés suivantes concernent cela :
- le coefficient angulaire de la tangente au point $(a, f(a))$ du graphe de la fonction $f$ est égal au nombre dérivé de $f$ en $a$, pour autant que cette tangente ne soit pas verticale ;
- une équation cartésienne de la tangente au point $(a, f(a))$ de la fonction $f$ est : $$y - f(a) = (x - a) f'(a),$$ pour autant que cette tangente ne soit pas verticale ;
- la fonction $f$ est dérivable en le réel $a$ si et seulement si le graphe cartésien de $f$ admet une seule tangente non verticale au point de coordonnée $(a, f(a))$.