Distance
La distance entre deux points $A$ et $B$ est la longueur du segment $[AB]$, que l'on note $d(A, B)$ ou $\overline{AB}$. On peut considérer la projection orthogonale d'un point $P$ :
- sur un plan $\pi$, il s'agit du pied de la perpendiculaire $p$ au plan $\pi$ issue de $P$ ;
- sur une droite $d$, il s'agit du pied de cette droite dans le plan $\pi$ mené par $P$ perpendiculairement à $d$.
Propriété
Les trois propriétés suivantes permettent d'établir la distance entre un point et une droite et entre un point et un plan :
- Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si sa projection orthogonale sur le plan est un point.
- Deux droites sont orthogonales si et seulement si la projection orthogonale de l'une sur l'autre est un point.
- La distance entre un point et le pied de la perpendiculaire issue de ce point à un plan est strictement inférieure à la distance de ce point à tout autre point du plan.
On a donc :
- La distance d'un point à un plan est la distance de ce point au pied de la perpendiculaire au plan issue du point.
- La distance d'un point à une droite est la distance de ce point au pied de la droite dans le plan issu du point et perpendiculaire à la droite.
Plan médiateur
Le plan médiateur du segment $[AB]$ est le plan perpendiculaire à la droite $AB$ passant par le milieu de $[AB]$. Ce plan possède plusieurs propriétés :
- Tout point du plan médiateur de $[AB]$ est équidistance de $A$ et de $B$.
- Tout point équidistant de $A$ et de $B$ appartient au plan médiateur de $[AB]$.
- Dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités du segment.