Homothétie du plan et de l'espace
L'homothétie de centre $C$ et de rapport $r$ est la transformation $h$ du plan ou de l'espace, notée $h_{C,r}$, qui à chaque point $X$ fait correspondre le point $X'$ tel que :
- $C$, $X$ et $X'$ sont alignés ;
- $\overrightarrow{CX'} = r \cdot \overrightarrow{CX}$.
L'homothétie de centre $C$ et de rapport nul est celle qui applique tout point du plan ou de l'espace sur le centre $C$. Plusieurs propriétés peuvent être établies sur cette transformation du plan ou de l'espace :
- Toute homothétie est entièrement déterminée lorsqu'on donne son centre, un point et l'image de ce point.
- Par toute homothétie, l'image du centre est le centre.
- Toute homothétie de rapport non nul est une transformation bijective.
- Par toute homothétie de rapport non nul, l'image d'une droite (resp. d'un plan) est une droite (resp. un plan) qui lui est parallèle.
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Toute homothétie de rapport non nul conserve :
- le parallélisme entre droites et plans ;
- le rapport des longueurs des segments ;
- les amplitudes des angles ;
- l'orthogonalité et la perpendicularité des droites et plans ;
- le rapport des aires des figures, et le rapport des volumes des solides ;
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Toute homothétie de rapport $r$ non nul multiplie :
- les périmètres des figures par $|r|$ ;
- les aires des figures et des solides par $r^2$ ;
- les volumes des solides par $|r^3|$.