Calcul élémentaire
Un phénomène fortuit est une expérience qui donne lieu à plusieurs résultats dus au hasard. Chaque résultat est appelé épreuve du phénomène. L'ensemble de toutes les épreuves est appelé catégorie d'épreuves du phénomène et est noté $\Omega$. Un évènement du phénomène est un ensemble d'épreuves, c'est-à-dire un sous-ensemble de $\Omega$. Ceux limités à une seule épreuve sont les évènements élémentaires du phénomène.
Un évènement se produit lorsque le résultat réalisé appartient à cet évènement. En particulier :
- l'évènement certain ($\Omega$) se produit toujours ;
- et l'évènement impossible ($\emptyset$) ne se produit jamais.
On peut appliquer des opérations ensemblistes aux évènements :
- l'évènement $A \cap B$ se produit si les évènements $A$ et $B$ se produisent simultanément ;
- l'évènement $A \cup B$ se produit si l'évènement $A$ ou l'évènement $B$ se produit ;
- et l'évènement $A \setminus B$ se produit si l'évènement $A$ se produit sans que l'évènement $B$ ne se produise.
Enfin, terminons avec quelques définitions :
- Des évènements qui n'ont rien en commun sont dits contraires ou disjoints; leur réunion vaut $\Omega$.
- Si tous les évènements élémentaires d'un phénomène fortuit ont la même chance d'apparaitre, ils sont dits équiprobables.
- Le nombre d'épreuves ou résultats d'un évènement $A$ est le nombre d'éléments de $A$; on le note $\#A$ qui se lit cardinal de $A$.
La probabilité mesure le « nombre de chances » de chaque évènement d'un phénomène fortuit. Elle vaut :
- $0$ pour l'évènement impossible ;
- $1$ pour l'évènement certain ;
- entre $0$ et $1$ de manière générale.
Enfin, pour deux évènements qui n'ont rien en commun, la probabilité que l'un ou l'autre se réaliser est égale à la somme des probabilités de chacun d'eux.
Terminons enfin avec quelques propriétés :
- Si tous les évènements élémentaires d'un phénomène fortuit sont équiprobables, on peut calculer la probabilité de tout évènement $A$ comme suit : $$P(A) = \frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}.$$
- Si $A$ et $B$ sont deux évènements contraires, alors $$P(A) = 1 - P(B)$ et $P(B) = 1 - P(A).$$
- Si $A$ et $B$ sont deux évènements quelconques, alors $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$