Dénombrement
On va considérer des ensembles de $n$ objets parmi lesquels on va vouloir sélectionner $k$ objets. On pourra sélectionner les objets avec ou sans remise. De plus, lors de la sélection, l'ordre de tirage aura de l'importance ou non. On s'intéresse ici à compter de combien de façons différentes il est possible de faire ces sélections. On va se baser sur la factorielle pour cela. Il s'agit d'une fonction s'appliquant aux naturels :
$$! : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{N}_0 & \rightarrow & \mathbb{N}_0 \\ n & \mapsto & n! = n (n - 1) (n - 2) \cdots 1. \end{array}$$De plus, par convention, la factorielle de zéro vaut un : $0! = 1$.
Arrangement
Le nombre d'arrangements avec répétition de $n$ objets pris $k$ à $k$ est une liste de $k$ objets (l'ordre compte), distincts ou non, choisis parmi les $n$ objets donnés.
$$B_n^k = n^k.$$Le nombre d'arrangements sans répétition de $n$ objets pris $k$ à $k$ est une liste de $k$ objets (l'ordre compte) distincts choisis parmi les $n$ objets donnés (avec $k \leq n$).
$$A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}.$$Permutation
Le nombre de permutations sans répétition de $k$ objets est une liste (l'ordre compte) de ces $k$ objets distincts.
$$P_k = k!.$$Combinaison
Le nombre de combinaisons sans répétition de $n$ objets pris $k$ à $k$ est un ensemble de $k$ objets (l'ordre ne compte pas) distincts, choisis parmi les $n$ objets donnés.
$$C_n^k = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}.$$