Déterminant
Seules les matrices carrées admettent un déterminant. Soit la matrice $A$, on note son déterminant par $\det A$ ou $|A|$. On va se limiter aux matrices d'ordre $3$ au plus. Trois situations sont à considérer :
- Soit $A = ( a )$. On a : $$\det A = |A| = a.$$
- Soit $A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$. On a : $$\det A = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.$$
- Soit $A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$. On a : $$\det A = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$$ $$\phantom{\det A} = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32})$$ $$\phantom{\det A = } - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}).$$
Plusieurs propriétés concernent le calcul du déterminant :
- Toute matrice carrée et sa transposée ont même déterminant.
- Dans le calcul de déterminants, tout résultat établi pour les lignes (resp. colonnes) est valable pour les colonnes (resp. lignes).
- Si on permute deux rangées d'une matrice carrée, le déterminant change de signe.
- Si on multiplie par un réel tous les éléments d'une rangée d'une matrice carrée, alors le déterminant de la matrice est multiplié par ce réel.
- Lorsque tous les éléments d'une rangée d'une matrice carrée sont des multiples d'un même réel, alors dans le calcul du déterminant, ce réel peut être mis en évidence.
- Lorsqu'on ajoute aux éléments d'une rangée d'une matrice carrée une même combinaison linéaire des éléments correspondants d'autres rangées parallèles qui, elles, restent inchangées, on obtient une matrice qui a le même déterminant que la première.
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Le déterminant d'une matrice carrée est nul si :
- tous les éléments de la matrice sont nuls ;
- tous les éléments d'une rangée sont nuls ;
- deux rangées parallèles sont identiques ;
- deux rangées parallèles sont proportionnelles ;
- une rangée est une combinaison linéaire des rangées parallèles.
- Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale principale.