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Résolution de système linéaire

Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues, noté (s), est un ensemble de $m$ équations du premier degré en chacune des $n$ inconnues, notées $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ :

$$(s) \left\{ \begin{array}{*{7}{c}cl} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \cdots & + & a_{1n} x_n & = & b_1 \\ \vdots & & \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \cdots & + & a_{mn} x_n & = & b_m. \end{array} \right.$$

La $i$e équation est notée $E_i$. On peut écrire le système $(s)$ sous la forme matricielle $Ax = b$, avec :

$$A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \qquad x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \qquad b = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right),$$

où $A$ est la matrice du système, $x$ la matrice-colonne des inconnues et $b$ la matrice-colonne des termes indépendants.

Une solution d'un système linéaire est un $n$-uple de réels qui vérifie toutes les équations du système. Résoudre un système linéaire $(s)$ consiste à déterminer l'ensemble $S$ de toutes les solutions de $(s)$.

Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions. Un système est dit échelonné si le nombre de variables diminue à chaque ligne. En utilisant les propriétés suivantes, on va pouvoir résoudre un système :

  1. permuter deux équations d'un système ($E_i \leftrightarrow E_j$) ne change pas ses solutions ;
  2. multiplier une équation d'un système par un réel non nul ($kE_i$) ne change pas ses solutions ;
  3. ajouter à une équation d'un système un multiple non nul d'une autre équation ($E_i/E_i + kE_j$) ne change pas ses solutions.

Méthode de résolution

La méthode de substitution fonctionne ainsi :

  1. on exprime une des inconnues par rapport aux autres dans l'une des équations du système ;
  2. on remplace cette inconnue par l'expression dégagée à la première étape dans toutes les autres équations du système ;
  3. dans le sous-système ne comprenant plus l'équation utilisée lors de la première étape, on répète éventuellement ce procédé pour finir par obtenir une seule équation à une seule inconnue ;
  4. on remonte ensuite vers le haut pour obtenir l'ensemble des solutions.

La méthode de Gauss (ou méthode du pivot) transforme le système en un système échelonné équivalent :

  1. on détermine une équation dont le coefficient de $x_1$ est non nul, et si ce n'est pas la première, on la permute avec la première ;
  2. pour chacune des équations $E_i$ (sauf la première), on lui ajoute la première multipliée par $-a_{i1}/a_{11}$ ;
  3. on réitère les deux opérations décrites précédemment avec le sous-système obtenu en ne considérant pas l'équation obtenue à la première étape.

Interprétation géométrique

La résolution de certains systèmes linéaires peut s'interpréter géométriquement. Voyons deux situations différentes :

  1. Résoudre un système à deux équations à deux inconnues revient à trouver l'intersection de deux droites dans le plan : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1x + b_1y & = & c_1 \\ a_2x + b_2y & = & c_2. \end{array} \right.$$ Trois situations peuvent se produire :
    • le système n'admet pas de solution, les deux droites sont parallèles et distinctes ;
    • le système admet une unique solution qui est l'unique intersection des deux droites (un point) ;
    • le système admet une infinité simple de solutions, les deux droites sont confondues.
  2. Résoudre un système à trois équations à trois inconnues revient à trouver l'intersection de trois plans dans l'espace : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1x + b_1y + c_1z & = & d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = & d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = & d_3. \end{array} \right.$$ Quatre situations peuvent se produire :
    • le système n'admet pas de solution, les trois plans sont parallèles et distincts ;
    • le système admet une unique solution qui est l'unique intersection des trois plans (un point) ;
    • le système admet une infinité simple de solutions, les trois plans se coupent selon une droite ;
    • le système admet une infinité double de solutions, les trois plans sont confondus.