Forme trigonométrique
Dans le plan de Gauss, si $P$ a pour affixe $a + bi$, alors le module $r$ d'un nombre complexe non nul $a + bi$ correspond à la longueur du segment $[OP]$, et son argument $\varphi$ est l'angle orienté d'origine $[OX$ et d'extrémité $[OP$. Voici quelques propriétés :
- Le module du nombre complexe non nul $a + bi$ est donné par : $$r = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
- L'argument du nombre complexe non nul $a + bi$ est donné par : $$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \textrm{ et } \sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$
- Le nombre complexe non nul $a + bi$ peut s'écrire sous la forme $a + bi = r (\cos\varphi + i\sin\varphi)$, ou en abrégé sous la forme anglo-saxonne, $a + bi = r\:\textrm{cis}~\varphi$.
- Le produit de deux nombres complexes non nuls a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments : $$(r\:\textrm{cis}~\varphi) (r'\:\textrm{cis}~\varphi') = (rr')\:\textrm{cis}~(\varphi + \varphi').$$
- Pour tout nombre naturel $n$ non nul : $$(\textrm{cis}~\varphi)^n = \textrm{cis}~(n\varphi).$$
- Pour tout nombre naturel $n$ non nul : $$(r\:\textrm{cis}~\varphi)^n = r^n\:\textrm{cis}~(n\varphi).$$
Racine $n$e
Tout comme pour les réels, $x$ est une racine $n$e du complexe $z$ si et seulement si $x^n = z$. Trois propriétés peuvent être définies :
- Tout nombre complexe $z = r\:\textrm{cis}~\varphi$ admet $n$ racines $n$e distinctes données par : $$z_k = \sqrt[n]{r}\:\textrm{cis}~\frac{\varphi + 2k\pi}{n} \qquad\textrm{avec } z = 0, 1, \cdots, n - 1.$$
- Les $n$ racines $n$e du nombre complexe $r\:\textrm{cis}~\varphi$ sont égales au produit de l'une d'elles par les $n$ racines $n$e de $1$.
- Les racines $n$e du nombre complexe $r\:\textrm{cis}~\varphi$ sont, dans le plan de Gauss, les sommets d'un polygone régulier de $n$ côtés inscrit au cercle de rayon $\sqrt[n]{r}$ et de centre $O$.