Limite et continuité : Limite

Limite

On va considérer des fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ définies sur un intervalle, une demi-droite ou la réunion de telles parties de $\mathbb{R}$. On peut considérer que deux réels $p$ et $k$ sont proches si leurs différence peut être rendue aussi petite que possible :

$$|p - k| < \alpha \qquad\textrm{où $\alpha$ est un réel arbitrairement choisi}.$$

Limite en un réel

On s'intéresse à la limite de la fonction $f$ en un point $a$, pour des points~$a$ faisant partie du domaine de $f$ ou en étant une borne.

Trois situations sont possibles :

lorsque $x$ tend vers le réel $a$, la limite de $f$ est le réel $b$ : $$\lim_{x \to a} f(x) = b \iff (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon) ;$$
lorsque $x$ tend vers le réel $a$, la limite de $f$ est plus l'infini : $$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \iff (0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > \varepsilon),$$ la fonction $f(x)$ croit sans borne lorsque $x$ prend des valeurs assez proches de $a$, mais distinctes de $a$ ;
lorsque $x$ tend vers le réel $a$, la limite de $f$ est moins l'infini : $$\lim_{x \to a} f(x) = -\infty \iff (0 < |x - a| < \delta \implies f(x) < \varepsilon),$$ la fonction $f(x)$ décroit sans borne lorsque $x$ prend des valeurs assez proches de $a$, mais distinctes de $a$.

On peut également considérer la limite à gauche (resp. à droite), lorsque $x$ prend des valeurs strictement inférieure (resp. supérieure) à $a$ :

$$\lim_{\begin{array}{l}\\[-5.5mm]\scriptstyle x \to a \\[-2mm] \scriptstyle x < a \end{array}} f(x) \textrm{ ou } \lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \left( \textrm{resp. } \lim_{\begin{array}{l}\\[-5.5mm]\scriptstyle x \to a \\[-2mm] \scriptstyle x > a \end{array}} f(x) \textrm{ ou } \lim_{x \to a^+} f(x) \right)$$

Pour rendre le calcul de limite plus pratique, on peut se baser sur les propriétés suivantes, où les fonctions $f$ et $g$ sont définies comme $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$, sauf mention contraire :

En tout réel $a$ du domaine des fonctions usuelles suivantes, on peut écrire $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : $$f(x) = k,\; x,\; \sqrt{x},\; \sqrt[n]{x},\; |x|,\; \frac{1}{x},\; \sin x,\; \cos x.$$
Si $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ existent, alors :
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x) + g(x) \right) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x) - g(x) \right) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)}$,
pour autant que les seconds membres aient un sens.
Soient les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : y \mapsto f(y)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$ telles que $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b$ et $\displaystyle \lim_{y \to b} f(y)$ existe, alors : $$\lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = \lim_{y \to b} f(y).$$
Si $f(x) = g(x)$ lorsque $x \neq a$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ existe alors : $$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x).$$
Lorsque la fonction $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite distinctes en le réel $a$, alors la limite en $a$ n'existe pas. Dans le cas contraire, si les limites à gauche et à droite existent et sont égales, alors la limite en $a$ existe et vaut cette valeur commune.
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
Soient les fonctions $\displaystyle f : [a - r, a + r] \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ avec $f(a) = 0$ et $\displaystyle g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \frac{1}{f(x)}$, alors $g$ admet une limite à gauche et une limite à droite qui sont infinies. Leur signe est celui de $f$ à gauche et à droite de $a$.
Soient les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$, $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$ et $h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto h(x)$, telles que $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ lorsque $x \neq a$, et $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = b$, alors : $$\lim_{x \to a} h(x) = b.$$
$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1$ et $\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{1 - \cos\alpha}{\alpha} = 0$.
Soit la fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ telle que $f(x) \geq 0$ (resp. $f(x) \leq 0$) en tout réel $x$ du domaine de $f$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b$, alors : $$b \geq 0 \qquad (\textrm{resp. } b \leq 0).$$

Limite en l'infini

On s'intéresse à la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$), pour autant que la fonction $f$ soit définie sur une demi-droite de type $[a, \rightarrow$ (resp. $\leftarrow, a]$).

Trois situations sont possibles, pour chaque infini :

lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$), la limite de $f$ est le réel $b$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \iff (x > \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon)$$ $$\left( \textrm{resp. } \lim_{x \to -\infty} f(x) = b \iff (x < \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon) \right),$$ la fonction $f(x)$ peut être rendue aussi proche que possible que l'on veut de $b$ lorsque $x$ croit (resp. décroit) sans borne ;
lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$), la limite de $f$ est moins l'infini : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \iff (x > \delta \implies f(x) < \varepsilon)$$ $$\left( \textrm{resp. } \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \iff (x < \delta \implies f(x) < \varepsilon) \right),$$ la fonction $f(x)$ décroit sans borne lorsque $x$ croit (resp. décroit) sans borne ;
lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$), la limite de $f$ est plus l'infini : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \iff (x > \delta \implies f(x) > \varepsilon)$$ $$\left( \textrm{resp. } \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \iff (x < \delta \implies f(x) > \varepsilon) \right),$$ la fonction $f(x)$ croit sans borne lorsque $x$ croit (resp. décroit) sans borne.

De nouveau, une série de propriétés permettent un calcul pratique des limites en l'infini où les fonctions $f$ et $g$ sont définies comme $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$, sauf mention contraire :

Soit la fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto k$ ($k$ est un réel fixé), alors : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = k \textrm{ et } \lim_{x \to +\infty} f(x) = k.$$
Soit la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \frac{1}{x}$, alors : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \textrm{ et } \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$
Soit la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto x$, alors : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \textrm{ et } \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$
Les fonctions périodiques n'admettent pas de limite, ni en $-\infty$, ni en $+\infty$.
Soit la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \sqrt{x}$, alors : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) \textrm{ n'existe pas et } \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$
Si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)$ existent, alors :
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + g(x) \right) = \lim_{x \to +\infty} f(x) + \lim_{x \to +\infty} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - g(x) \right) = \lim_{x \to +\infty} f(x) - \lim_{x \to +\infty} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot \lim_{x \to +\infty} g(x)$ ;
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)}$,
pour autant que les seconds membres aient un sens. Les mêmes propriétés s'appliquent pour $x \to -\infty$.
Soient les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : y \mapsto f(y)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$ telles que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{y \to +\infty} f(y)$ existe, alors : $$\lim_{x \to +\infty} (f \circ g)(x) = \lim_{y \to +\infty} f(y),$$ la même propriété s'appliquant pour $x \to -\infty$.
Soit la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \frac{1}{x^n}$, alors : $$\lim_{x \to -\infty} = 0 \textrm{ et } \lim_{x \to +\infty} = 0.$$
Si $f(x)$ est un polynôme réel en $x$, alors la limite de $f(x)$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) est égale à la limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) du terme de plus haut degré en $x$ du polynôme.
Si $f(x)$ est une fraction rationnelle, alors la limite de $f(x)$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) est égale à la limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) du quotient des termes de plus haut degré en $x$ du numérateur et du dénominateur.