Asymptote
De manière générale, une droite $d$ est une asymptote à une courbe $\Gamma$ si une branche de la courbe se rapproche de plus en plus de la droite $d$, sans la couper, lorsqu'un point $M$ de $\Gamma$ se déplace vers l'infini.
La droite $d$ est une asymptote à la courbe $\Gamma$ lorsque la distance $\overline{MN}$ du point $M(x, y)$ de $\Gamma$ à la droite $d$ tend vers $0$ lorsque $x$ ou $y$ tendent vers l'infini.
Asymptote horizontale et verticale
La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale au graphe cartésien de $f$ lorsque :
$$\lim_{x \to a^-} = \pm\infty \textrm{ ou } \lim_{x \to a^+} = \pm\infty.$$La droite d'équation $y = a$ est une asymptote horizontale au graphe cartésien de $f$ lorsque :
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = a \quad\textrm{(asymptote horizontale à gauche)},$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = a \quad\textrm{(asymptote horizontale à droite)}.$$Asymptote oblique
La droite $d$ d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe d'équation $y = f(x)$ lorsque :
$$\lim_{x \to -\infty} \Big( f(x) - (ax + b) \Big) = 0 \quad\textrm{(asymptote oblique à gauche)},$$ $$\lim_{x \to +\infty} \Big( f(x) - (ax + b) \Big) = 0 \quad\textrm{(asymptote oblique à droite)}.$$Les formules de Cauchy offrent une manière pratique de déterminer une asymptote oblique. La droite $d$ d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à droite (resp. à gauche) au graphe cartésien de $f$ si et seulement si :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \textrm{ et } \lim_{x \to +\infty} \Big( f(x) - ax \Big) = b$$ $$\left( \textrm{resp.} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = a \textrm{ et } \lim_{x \to -\infty} \Big( f(x) - ax \Big) = b \right).$$