Primitive
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de réels. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto F(x)$ également définie sur $I$, et telle que $F'(x) = f(x)$, pour tout réel $x \in I$.
Voici quelques propriétés concernant les primitives :
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F + k$ est aussi une primitive de $f$, pour tout réel $k$.
- Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ sur $I$ et que $I$ est inclus dans le domaine de $f$, alors il existe une constante $C$ telle que $F(x) - G(x) = C$, pour tout réel $x$ dans $I$.
- Soit un intervalle $I$ de réels. Si $F$ est une primitive sur $I$ d'une fonction $f$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $F + k$, où $k$ est une fonction constante réelle.
- Toute fonction continue sur un intervalle de réels admet au moins une primitive sur cet intervalle.
- Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ de réels, $x_0$ est un réel de $I$ et $y_0$ un réel quelconque, alors il existe une et une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.
L'ensemble des primitives d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ de réels porte le nom d'intégrale indéfinie de $f$ et est notée $\displaystyle\int f(x) \,dx$.
Primitive de fonction simple
Voici un tableau des primitives de simples fonctions, où $C \in \mathbb{R}$ est une constante, avec le domaine d'intégration correspondant.
| $f(x)$ | $\displaystyle\int f(x) \,dx$ | Domaine d'intégrabilité |
|---|---|---|
| $k \quad (k \in \mathbb{R})$ | $kx + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $\displaystyle\frac{x^2}{2} + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n \quad (n \in \mathbb{N}_0)$ | $\displaystyle\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\frac{1}{x}$ | $\ln |x| + C$ | $]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$ |
| $\displaystyle\frac{1}{x^n} \quad (n \in \mathbb{N}_0 \setminus \{ 1 \})$ | $\displaystyle-\frac{1}{(n - 1) x^{n - 1}} + C$ | $]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$ |
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x} + C$ | $]0, +\infty[$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | $\tan x + C$ | $\displaystyle\left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[$ |
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | $\mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}$ |
| $\displaystyle\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\arccos x + C$ | $\mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}$ |
| $\displaystyle\frac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln x$ | $x\ln x - x + C$ | $\mathbb{R}_0^+$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ |
On peut également utiliser les trois propriétés suivantes pour calculer des primitives :
- Intégrale d'une somme de fonction : $$\int f(x) + g(x) \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x) \,dx.$$
- Intégrale d'un multiple d'une fonction ($k \in \mathbb{R}$) : $$\int kf(x) \,dx = k\int f(x) \,dx.$$
- Intégrale d'une composée de fonctions : $$\int h'(g(x)) g'(x) \,dx = h(g(x)) + C.$$
Technique d'intégration
Deux autres techniques d'intégration peuvent également être utilisées :
- Intégration par partie : $$\int f(x) g'(x) \,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \,dx.$$
- Intégration par substitution : $$\int f(x) \,dx = \int f(g(t)) g'(t) \,dt \quad\textrm{avec } x = g(t).$$