Quadrature et cubature
La quadrature d'une surface limitée par des courbes ou des droites est le calcul de son aire.
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Pour calculer l'aire $A$ d'une partie du plan limitée par la courbe d'équation $y = f(x)$, l'axe $x$ et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$, lorsque $f$ est intégrable sur $[a, b]$ :
- si $f$ est positive sur $[a, b]$, alors $\displaystyle A = \int_a^b f(x) \,dx$ ;
- si $f$ est négative sur $[a, b]$, alors $\displaystyle A = -\int_a^b f(x) \,dx$ ;
- sinon on partage l'intervalle $[a, b]$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ est soit positive, soit négative et on additionne toutes les intégrales positives à qui on ajoute l'opposé de toutes les intégrales négatives.
- Pour calculer l'aire $A$ d'une partie du plan non bordée par l'axe $x$, mais bordée par les graphes $G_f$ et $G_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ intégrables sur $[a, b]$ ($x = a$ et $x = b$ étant les abscisses des intersections des deux graphes), si le graphe de $f$ est au-dessus de celui de $g$, on calcule : $$A = \int_a^b \Big( f(x) - g(x) \Big) \,dx.$$
La cubature d'un solide est le calcul de son volume. On se limite aux solides de révolution d'axe $d$, à savoir des solides engendrés par la rotation d'une surface plane autour de la droite $d$.
Si l'on considère une rotation autour de l'axe $x$ d'une surface plane délimitée par le graphe de l'équation $y = f(x)$, avec $f$ intégrable sur $[a, b]$, et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$, le volume du solide de révolution se calcule par :
$$V = \pi \int_a^b \Big[ f(x) \Big]^2 \,dx.$$