Cercle et nombre trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle centré à l'origine du repère, de rayon unité et orienté positivement dans le sens anti-horloger. Tout point $P$ du cercle détermine un unique angle orienté $\widehat{XOP}$, et inversement. Enfin, les axes du repère coupent le cercle en quatre quadrants numérotés de $I$ à $IV$ :
Nombre trigonométrique
À chaque angle $\alpha$ dans le cercle trigonométrique est associé plusieurs nombres trigonométriques. Le sinus et le cosinus, respectivement notés $\sin\alpha$ et $\cos\alpha$, correspondent respectivement à l'ordonnée et à l'abscisse du point $P$ défini par l'angle. La tangente et la cotangente sont définis comme des rapports entre le sinus et le cosinus :
$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \textrm{ et } \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$
Ces nombres trigonométriques jouissent de plusieurs propriétés. Tout d'abord, concernant le sinus et le cosinus :
- Tout angle orienté possède un sinus et un cosinus.
- $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$ et $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$.
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Concernant la tangente et la cotangente, on a les propriétés suivantes, pour $k \in \mathbb{Z}$ :
- La tangente n'existe que si $\cos\alpha \neq 0$, c'est-à-dire $\alpha \neq \pi / 2 + k\pi$.
- La cotangente n'existe que si $\sin\alpha \neq 0$, c'est-à-dire $\alpha \neq k\pi$.
Le signe d'un nombre trigonométrique dépend du quadrant dans lequel l'angle se situe. Ces signes sont repris dans le tableau suivant :
| I | II | III | IV | |
|---|---|---|---|---|
| Sinus | + | - | - | + |
| Cosinus | + | + | - | - |
| Tangente | + | - | + | - |
| Cotangente | + | - | + | - |
Autre nombre trigonométrique
Deux autres nombres trigonométriques peuvent être dérivés à partir du sinus et du cosinus. La sécante et la cosécante sont définis comme suit :
$$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \textrm{ et } \csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}.$$Comme pour la tangente et cotangente, ces deux nombres trigonométriques sont sujets à des conditions d'existence sur $\alpha$.
Nombre trigonométrique pour des angles particuliers
Le tableau suivant reprend les valeurs des principaux nombres trigonométriques pour des valeurs particulières d'angle :
| $0 \;(0^\circ)$ | $\frac{\pi}{6} \;(30^\circ)$ | $\frac{\pi}{4} \;(45^\circ)$ | $\frac{\pi}{3} \;(60^\circ)$ | $\frac{\pi}{2} \;(90^\circ)$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Sinus | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| Cosinus | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| Tangente | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
| Cotangente | — | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ |