Triangle quelconque
Plusieurs propriétés peuvent être définies dans un triangle quelconque, liant les longueurs de ses côtés avec les angles qu'ils forment. On n'oubliera tout d'abord pas de mentionner que dans tout triangle :
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.$$
- La relation aux sinus dit que les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés : $$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}.$$
- La relation aux cosinus (ou théorème d'Al Kashi) dit que le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée du double du produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre ces deux côtés : $$\begin{array}{l} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha ; \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta ; \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma. \end{array}$$
- L'aire $S$ de tout triangle est égale à la moitié du produit de la longueur de deux côtés par le sinus de l'angle compris entre ces côtés : $$S = \frac{1}{2} ab \sin\gamma = \frac{1}{2} bc \sin\alpha = \frac{1}{2} ac \sin\beta.$$