Équation et inéquation trigonométrique
La résolution d'équations et inéquations trigonométriques revient à trouver un ensemble de valeurs possibles pour une inconnue qui est un angle, qui intervient appliqué à des fonctions trigonométriques. La résolution part d'équations trigonométriques élémentaires simplement résolues par application des fonctions cyclométriques :
$$\sin \alpha = a \iff \alpha = \arcsin a,$$et de même pour le cosinus, la tangente et la cotangente.
Équation trigonométrique
On peut résoudre des simples équations trigonométriques impliquant l'égalité de deux sinus, cosinus ou tangente :
- $\sin\alpha = \sin\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi$ ou $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$ ;
- $\cos\alpha = \cos\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi$ ou $\alpha = -\beta + 2k\pi$ ;
- $\tan\alpha = \tan\beta \iff \alpha = \beta + k\pi$.
On peut aussi résoudre des simples équations trigonométriques impliquant des sinus et cosinus en utilisant les propriétés des angles complémentaires :
- $\sin\alpha = \cos\beta \iff \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos\beta$ ou $\sin\alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)$.
Pour toute autre équation trigonométrique, on se ramène à des équations trigonométriques élémentaires ($\sin\alpha = a$, $\cos\alpha = a$, $\tan\alpha = a$, $\sin\alpha = \sin\beta$, $\cos\alpha = \cos\beta$ et $\tan\alpha = \tan\beta$).
Inéquation trigonométrique
On peut résoudre des inéquations trigonométriques de la forme $\sin\alpha < a$, $\sin\alpha \leq a$, $\sin\alpha > a$ ou $\sin\alpha \geq a$ :
- on trace l'intervalle des valeurs acceptables sur l'axe des $y$ ;
- on en déduit ensuite l'arc de cercle trigonométrique des angles correspondants ;
- on décrit l'ensemble des solutions.
Pour le cosinus, on fait pareil avec l'axe des $x$ et pour la tangente, avec la droite $x = 1$. Pour toute autre inéquation trigonométrique, on se ramène de nouveau à des inéquations trigonométriques élémentaires.
Équation harmonique
Une équation harmonique est une équation de la forme :
$$a \sin x + b \cos x = c.$$Voici une manière de le résoudre :
- Construire un triangle rectangle tel que $\tan\alpha = a / b$ et donc : $$h = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
- Cela donne $\sin\alpha = a / h$ et $\cos\alpha = b / h$, ce qui permet d'écrire : $$(h\sin\alpha) \sin x + (h\cos\alpha) \cos x = c.$$
- Grâce aux formules d'addition, on écrit : $$h (\sin x \sin\alpha + \cos x \cos\alpha) = c \iff \cos (x - \alpha) = \frac{c}{h}.$$
- Sachant que $\alpha = \arctan a / b$, les solutions sont donc, pour $k \in \mathbb{Z}$ : $$x - \alpha = \left( \pm\arccos \frac{c}{h} \right) + 2k\pi.$$