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Encadrement décimal

Tout nombre réel qui ne peut être écrit qu'avec une écriture décimale illimitée peut être décrit à l'aide de ses encadrements décimaux successifs. Soient les deux définitions suivantes :

1. L'intervalle $[s'_n, s''_n]$ est emboité dans l'intervalle $[s'_{n - 1}, s''_{n - 1}]$ signifie que : $$[s'_{n - 1}, s''_{n - 1}] \supset [s'_n, s''_n] \textrm{ c'est-à-dire } s'_{n - 1} \leq s'_n \textrm{ et } s''_{n - 1} \geq s''_n.$$
2. La suite d'intervalles emboités $[s'_1, s''_1]$, $[s'_2, s''_2]$, ..., $[s'_n, s''_n]$ qui définissent le nombre réel $x \in \mathbb{R}$ est notée $([s'_n, s''_n])$.

On a donc que la suite d'intervalles emboités $([s'_n, s''_n])$ définit le réel $x \in \mathbb{R}$ si et seulement si :

• $\begin{array}[t]{ll} \textrm{quel que soit le naturel } n : & \textrm{-- } s'_n \textrm{ et } s''_n \textrm{ sont rationnels} ; \\ & \textrm{-- } s'_n < x < s''_n ; \\ & \textrm{-- } s'_{n - 1} \leq s'_n \textrm{ et } s''_{n - 1} \geq s''_n, \end{array}$
• et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (s''_n - s'_n) = 0$.

Les opérations sur les réels peuvent être définis à partir des intervalles emboités. Par exemple, si le réel $a$ est défini par la suite $([a'_n, a''_n])$ et le réel $b$ par la suite $([b'_n, b''_n])$, alors le réel $a + b$ est défini par la suite $([a'_n + b'_n, a''_n + b''_n])$.

Une propriété importante qui découle de la notion d'encadrement est qu'entre deux réels distincts, il en existe toujours un autre :

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