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Champ des réels

L'addition et la multiplication des réels confèrent à $\mathbb{R}$ une structure de champ, c'est-à-dire que les onze propriétés suivantes sont satisfaites quels que soient les réels $a, b, c \in \mathbb{R}$ :

  1. la somme de deux réels est un réel : $a + b \in \mathbb{R}$ ;
  2. l'addition est associative : $a + (b + c) = (a + b) + c$ ;
  3. l'addition est commutative : $a + b = b + a$ ;
  4. $0$ est neutre pour l'addition : $a + 0 = a = 0 + a$ ;
  5. tout réel admet un opposé : $a + (-a) = 0 = (-a) + a$ ;
  6. le produit de deux réels est un réel : $ab \in \mathbb{R}$ ;
  7. la multiplication est associative : $a(bc) = (ab)c$ ;
  8. la multiplication est commutative : $ab = ba$ ;
  9. $1$ est neutre pour la multiplication : $a \cdot 1 = a = 1 \cdot a$ ;
  10. tout réel non nul admet un inverse : $a \cdot \frac{1}{a} = 1 = \frac{1}{a} \cdot a$ (si $a \neq 0$) ;
  11. la multiplication est distributive par rapport à l'addition : $a (b + c) = ab + ac$ et $(a + b)c = ac + bc$.

L'ensemble $\mathbb{R}$ possède également d'une structure de champ ordonné grâce aux deux propriétés suivantes liant la relation d'ordre $\leq$ :

  1. avec l'addition : $a \leq b \implies a + c \leq b + c$ ;
  2. avec la multiplication : $a \leq b$ et $c > 0 \implies ac \leq bc$.

Groupe

Soit un ensemble $E$ et une opération $\star$ définie pour les éléments de cet ensemble. L'opération $\star$ confère à $E$ une structure de groupe lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées, quels que soient les éléments $a, b, c \in E$ :

  1. $\star$ est interne et partout définie dans $E$ : $a \star b \in E$ ;
  2. $\star$ est associative : $a \star (b \star c) = (a \star b) \star c$ ;
  3. il existe un élément neutre de $E$ pour $\star$ : $a \star e = a = e \star a$ ;
  4. il existe un symétrique $a'$ pour tout $a$ de $E$ : $a \star a' = e = a' \star a$.

De plus, l'opération $\star$ confère à $E$ une structure de groupe commutatif si la propriété suivante est vérifiée en plus des quatre précédentes :

  1. $\star$ est commutative : $a \star b = b \star a$.

Par exemple, l'addition $+$ confère à $\mathbb{R}$ une structure de groupe commutatif et la multiplication $\cdot$ confère à $\mathbb{R}_0$ une structure de groupe commutatif.