Définition
Une loi de probabilité est une fonction $P$ qui associe à chaque évènement un nombre réel compris entre $0$ et $1$ telle que :
- $P(\Omega) = 1$ ;
- $P(\emptyset) = 0$ ;
- si $A \cap B = \emptyset$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Une variable aléatoire, notée par une majuscule $X$ (ou $Y$...) associe une caractéristique numérique aux évènements d'un phénomène fortuit. La variable aléatoire peut prendre différentes valeurs $x_i$, chacune étant associée à un évènement de $\Omega$.
Étant donné une variable aléatoire $X$, on note par :
- $P(X = x_i)$ la probabilité que la valeur de $X$ soit $x_i$, c'est-à-dire la probabilité de l'évènement associé ;
- $P(X < x_i)$ la probabilité que la valeur de $X$ soit strictement inférieure à $x_i$, c'est-à-dire la probabilité de l'ensemble des évènements associés ;
- $P(x_i < X < x_j)$ la probabilité que la valeur de $X$ soit strictement comprise entre $x_i$ et $x_j$, c'est-à-dire la probabilité de l'ensemble des évènements associés.
La loi de probabilité $f$, également appelée fonction de répartition, d'une variable aléatoire $X$ se définit comme :
$$f : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x_i & \mapsto & f(x_i) = P(X = x_i) \end{array}$$En reliant, dans l'ordre, les points du graphe cartésien de $f$, on obtient une ligne brisée appelée le polygone de probabilités.
Voici enfin quelques valeurs que l'on peut calculer pour caractériser une variable aléatoire $X$ :
- L'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$ est : $$E(X) = \sum_i x_ip_i.$$
- La variance de $X$, notée $V(X)$, est : $$V(X) = \sum_i p_i \left( x_i - E(X) \right)^2.$$
- L'écart-type de $X$, notée $\sigma(X)$, est : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$