Exemples de lois de probabilité
Une épreuve de Bernouilli est une expérience qui ne produit que deux résultats contraires, l'un nommé succès et l'autre échec. On note $p$ la probabilité de succès et $q = 1 - p$ la probabilité d'échec.
- Un schéma de Bernouilli consiste à répéter $n$ fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernouilli. Les différentes épreuves sont dès lors indépendantes.
-
La loi binomiale est celle associée à la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès obtenus. Étant donné $n \in \mathbb{N}_0$ et $p \in \mathbb{R}$ avec $0 \leq p \leq 1$, la loi binomiale se définit par :
$$f(x_i) = P(X = x_i) = C_n^{x_i} p^{x_i} (1 - p)^{n - x_i}.$$
On a :
- $E(X) = np$ ;
- $V(X) = np (1 - p)$ ;
- $\sigma(X) = \sqrt{np (1 - p)}$.
-
Lorsque $n$ devient grand, la loi binomiale devient la loi normale, également appelée loi de Laplace-Gauss, définie par :
$$f(x) = P(X = x) = \frac{1}{\sigma(X)\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2(\sigma(X))^2}}.$$
On a :
- $E(X) = \mu = np$ ;
- $V(X) = (\sigma(X))^2 = np (1 - p)$ ;
- $\sigma(X) = \sqrt{np (1 - p)}$.
-
Lorsque $n$ devient très grand et que $p$ devient très petit, la loi binomiale devient la loi de Poisson, définie par :
$$f(x) = P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$
On a :
- $E(X) = \lambda = np$ ;
- $V(X) = (\sigma(X))^2 = np$ ;
- $\sigma(X) = \sqrt{np}$.