Équation du second degré
Une équation du second degré en $x$ est une équation de la forme :
$$ax^2 + bx + c = 0,$$où $a \in \mathbb{R}_0$ et $b, c \in \mathbb{R}$. Résoudre une telle équation revient à trouver la ou les valeurs de $x$ qui annulent le trinôme $ax^2 + bx + c$, ces valeurs étant appelées racines de l'équation.
Le discriminant d'une équation du second degré, noté $\Delta$ (aussi appelé réalisant et noté $\rho$) est la valeur :
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$En fonction de sa valeur, on peut caractériser les solutions de la résolution d'une équation du second degré :
- si $\Delta > 0$, l'équation admet deux racines réelles simple $x_1$ et $x_2$ : $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \textrm{ et } x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} ;$$
- si $\Delta = 0$, l'équation admet une racine réelle double $x_1$ : $$x_1 = -\frac{b}{2a} ;$$
- et enfin, si $\Delta < 0$, l'équation n'admet pas de racine réelle.
On peut identifier deux propriétés concernant les racines d'une équation du second degré :
- Lorsqu'une équation du second degré admet deux racines réelles simples $x_1$ et $x_2$, leurs somme $S$ et produit $P$ sont donnés par : $$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad\textrm{et}\qquad P = x_1x_2 = \frac{c}{a},$$ et on peut écrire $ax^2 + bx + c = a(x^2 - Sx +P)$.
- Deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit vaut $P$ sont racines de l'équation $x^2 - Sx + P = 0$. Ces nombres existent si $S^2 -4P \geq 0$.
Technique de résolution
Dans certaines situations particulières, il n'est pas nécessaire de calculer le discriminant pour résoudre une équation du second degré.
- Lorsque $c = 0$, on se retrouve avec l'équation $ax^2 + bx = 0$ qu'on peut factoriser en $x (ax + b) = 0$, ce qui donne deux solutions : $$x_1 = 0 \quad\textrm{et}\quad x_2 = -\frac{b}{a}.$$
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Lorsque $a = 1$, on se retrouve avec l'équation $x^2 + bx + c = 0$, et on peut compléter le trinôme en carré parfait en ajoutant une même valeur aux deux membres de l'équation, pour obtenir équation équivalente de la forme $(x + b/2)^2 = b^2/4 - c$. Selon la valeur de $b^2/4 - c$, trois cas se présentent :
- si $\displaystyle\frac{b^2}{4} - c < 0$, il n'y a pas de solutions ;
- si $\displaystyle\frac{b^2}{4} - c = 0$, l'unique solution est $\displaystyle x_1 = -\frac{b}{2}$ ;
- si $\displaystyle\frac{b^2}{4} - c > 0$, il y a deux solutions qui sont : $$x_1 = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} - c} \quad\textrm{et}\quad x_2 = -\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}.$$