Fonction arctangente
La fonction arctangente est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $\left[ -\pi / 2, \pi / 2 \right]$.
$$\arctan : \begin{array}[t]{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \displaystyle\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\[2mm] x & \mapsto & \arctan x, \end{array}$$tel que $\arctan x = y \iff y = \tan x$ et $-\pi / 2 \leq y \leq \pi / 2$. On a donc comme propriété immédiate que $\arctan (\tan x) = x = \tan (\arctan x)$.
La fonction est continue et strictement croissante sur son domaine, et elle est également impaire. Elle possède une racine en $x = 0$. Elle possède deux asymptotes horizontales $y = -\pi / 2$ et $y = \pi / 2$, puisque :
$$\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} \textrm{ et } \lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}.$$La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut :
$$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}.$$