Lieu géométrique : Conique

Conique

Les coniques sont des courbes définies comme l'intersection entre un plan et un cône de révolution. Trois familles de coniques sont ainsi définies, selon la position du plan par rapport au cône. On a les paraboles, les hyperboles et les ellipses :

Conique déterminée par un foyer et une directrice

Dans un plan $\pi$, la conique de foyer $F$, de droite directrice $d$ et d'excentricité $\varepsilon \in \mathbb{R}_0^+$ est un lieu géométrique d'équation :

$$\Gamma = \left\{ P \in \pi \;\bigg|\; \frac{d(P,F)}{d(P,d)} = \varepsilon \right\}.$$

L'équation $d(P,F) = \varepsilon \cdot d(P,d)$ est l'équation focale de la conique. L'excentricité caractérise la conique :

les ellipses ont $0 < \varepsilon < 1$ ;
les paraboles ont $\varepsilon = 1$ ;
les hyperboles ont $\varepsilon > 1$.

Voici deux propriétés des coniques, caractérisant respectivement leur symétrie et sommet :

Pour toute conique $\Gamma$ de foyer $F$ et de droite directrice $d$, la droite $m$ passant par $F$ et perpendiculaire à $d$, appelée axe focal, est une axe de symétrie de $\Gamma$.
Tout conique $\Gamma$ de foyer $F$, de droite directrice $d$, d'excentricité $\varepsilon > 0$ et d'axe focal $m$ possède un et un seul sommet $S$ situé sur $m$ et compris entre $F$ et $d$ avec :
- $d(S,F) < d(S,d)$, si $0 < \varepsilon < 1$ ;
- $d(S,F) = d(S,d)$, si $\varepsilon = 1$ ;
- $d(S,F) > d(S,d)$, si $\varepsilon > 1$.
Toute conique $\Gamma$ de foyer $F$, de droite directrice $d$, d'excentricité $\varepsilon > 0$ et d'axe focal $m$ possède un et un seul sommet $S$ situé sur $m$ et non compris entre $F$ et $d$ si et seulement si $\varepsilon \neq 1$, avec :
- $d(S,F) < d(S,d)$, si $0 < \varepsilon < 1$ ;
- $d(S,F) > d(S,d)$, si $\varepsilon > 1$.
L'axe focal d'une conique $\Gamma$ de foyer $F$, de droite directrice $d$ et d'excentricité $\varepsilon > 0$ coupe $\Gamma$ :
- en un seul point $S$ situé entre $F$ et $d$, et à égale distance de $F$ et de $d$ si et seulement si $\Gamma$ est une parabole ($\varepsilon = 1$) ;
- en deux points $S_1$ et $S_2$, tels que $S_1$ est compris entre $F$ et $d$ et $S_2$ ne l'est pas, si et seulement si $\Gamma$ est une ellipse ($0 < \varepsilon < 1$) ou une hyperbole ($\varepsilon > 1$).
Tout conique admettant deux sommets $S_1$ et $S_2$ sur son axe focal a un foyer :
- compris entre les deux sommets si $0 < \varepsilon < 1$ ;
- non compris entre les deux sommets si $\varepsilon > 1$.
Pour toute conique admettant deux sommets $S_1$ et $S_2$ sur son axe focal et de foyer $F$, si $O$ est le milieu de $[S_1S_2]$, on a :
- $d(O, F) < d(O, S_1)$, si $0 < \varepsilon < 1$ ;
- $d(O, F) > d(O, S_1)$, si $\varepsilon > 1$.

Parabole

Dans un repère orthonormé tel que l'origine soit le sommet $S$, l'axe des abscisses est l'axe focal et l'axe des ordonnées est la perpendiculaire à l'axe focal passant par $S$. L'équation réduite de la parabole de paramètre $p$, où $p$ est la distance entre le foyer et la droite directrice, est :

$$\Gamma \equiv y^2 = 2px,$$

avec $F\left( p / 2, 0 \right)$ et $d \equiv x = -\frac{p}{2}$. On peut établir deux autres équations réduites :

avec $F\left( -p / 2, 0 \right)$ et $d \equiv x = p / 2$ : $\Gamma \equiv y^2 = -2px$ ;
avec $F\left( 0, p / 2 \right)$ et $d \equiv y = -p / 2$ : $\Gamma \equiv x^2 = 2py$.

Ellipse et hyperbole

Soit une ellipse ou une hyperbole de foyer $F$ et de droite directrice $d$. Soit $O$ le milieu de $[S_1S_2]$ avec $S_1$ et $S_2$ les deux sommets situés sur l'axe focal, en notant $\overline{OS_1} = a$ et $\overline{OF} = c$, on a :

$$\varepsilon = \frac{c}{a} \qquad\textrm{et}\qquad d(O, d) = \frac{a^2}{c}.$$

Dans un repère orthonormé tel que l'origine soit le point $O$, l'axe des abscisses est l'axe focal et l'axe des ordonnées est la perpendiculaire à l'axe focal passant par $O$. L'équation réduite de l'ellipse ou l'hyperbole est :

$$\Gamma \equiv \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1.$$

Pour une ellipse, on note $a^2 - c^2 = b^2$ et pour une hyperbole, on note $c^2 - a^2 = b^2$. On obtient alors les équations réduites suivantes :

$$\mathbb{E} \equiv \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \equiv b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 ;$$ $$\mathbb{H} \equiv \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \equiv b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2.$$

Pour une ellipse, lorsque $a > b$, la longueur $a$ est appelée demi-grand axe et la longueur $b$ est appelée demi-petit axe.

Voici trois propriétés pour les ellipses et hyperboles :

Si $S_1$ et $S_2$ sont les sommets d'une ellipse ou hyperbole, situés sur leur axe focal et $O$ est le milieu de $[S_1S_2]$, alors $O$ est un centre de symétrie de la conique.
Pour toute ellipse et hyperbole, la droite perpendiculaire à l'axe focal, issue de son centre est un second axe de symétrie de la conique.
Toute conique centrée admet deux foyers et deux droites directrices, symétriques par rapport au centre de la conique.

Équation cartésienne des coniques

On va maintenant voir les équations cartésiennes générales des coniques :

Une parabole est une courbe d'équation : $$(x - r)^2 = \pm 2p (y - s) \qquad\textrm{ou}\qquad (y - s)^2 = \pm 2p (x - r),$$ où $r, s \in \mathbb{R}, p \in \mathbb{R}_0^+$. De plus, on a :
- si $(r, s) = (0, 0)$, on retombe sur l'équation réduite ;
- si $(r, s) \neq (0, 0)$, on a une translation de vecteur $(r, s)$.
Une ellipse ou parabole est une courbe d'équation : $$m(x - r)^2 + n(y - s)^2 = p,$$ où $r, s, p \in \mathbb{R}$ et $m, n \in \mathbb{R}_0$. De plus, on a :
- si $(r, s) = (0, 0)$ et $m$ et $n$ sont de même signes, alors :
  - si $p = 0$, la conique est dégénérée en un seul point ;
  - si $p \neq 0$, alors :
    - si le signe de $p$ est opposé à celui de $m$ et $n$, alors on a la conique vide ;
    - si le signe de $p$ égale celui de $m$ et $n$, alors :
      - si $p / n < p / m$, alors on retombe sur l'équation réduite de l'ellipse ;
      - si $p / n > p / m$, alors on a une ellipse d'axe focal $y$ ;
      - si $p / n = p / m$, alors on a un cercle de centre $O(0, 0)$ et de rayon $\sqrt{p / m}$ ;
- si $(r, s) = (0, 0)$ et $m$ et $n$ sont de signes opposés, alors :
  - si $p = 0$, la conique est dégénérée en deux droites sécantes ;
  - si $p \neq 0$, alors :
    - si le signe de $p$ est opposé à celui de $n$, alors on retombe sur l'équation réduite de l'hyperbole ;
    - si le signe de $p$ égale celui de $n$, alors on a une hyperbole d'axe focal $y$ ;
    - si $m = -n$, les asymptotes sont perpendiculaires et l'hyperbole est dite équilatère ;
- si $(r, s) \neq (0, 0)$, on a une ellipse ou hyperbole avec une translation de vecteur $(r, s)$.

Application

On peut définir les coniques centrées à partir de leurs deux foyers $F$ et $F'$, à partir d'une définition bifocale :

Une ellipse $\mathbb{E}$ est le lieu géométrique des points du plan $\pi$ dont la somme des distances aux points $F$ et $F'$ est $2a$, avec $a > c$ : $$\mathbb{E} = \{ P \in \pi \mid \overline{PF} + \overline{PF'} = 2a, \textrm{avec } 2a > d(F, F')\}.$$
Une hyperbole $\mathbb{H}$ est le lieu géométrique des points du plan $\pi$ dont la valeur absolue de la différence des distances aux points $F$ et $F'$ est $2a$, avec $a < c$ : $$\mathbb{H} = \{ P \in \pi \mid |\overline{PF} - \overline{PF'}| = 2a, \textrm{avec } 2a < d(F, F')\}.$$

Déterminer l'intersection d'une conique $\Gamma$ et d'une droite $d$ revient à résoudre le système formé par les équations de $\Gamma$ et $d$.

On peut calculer l'équation de la tangente $t$ au point $(m, p)$ d'une :

ellipse d'équation $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$ : $$t \equiv b^2mx + a^2py - a^2b^2 = 0 ;$$
hyperbole d'équation $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$ : $$t \equiv b^2mx - a^2py - a^2b^2 = 0 ;$$
parabole d'équation $y^2 = 2px$ : $$t \equiv sy = px + pr.$$

Enfin, on peut établir des propriétés optiques des ellipses :

La droite joignant un point $P$ d'une parabole à son foyer et la droite issue de $P$ menée parallèlement à l'axe focal forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à la parabole en $P$.
Les droites joignant un point $P$ d'une ellipse (resp. hyperbole) à ses foyers forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à l'ellipse (resp. hyperbole) en $P$.