Trajectoire
Les trajectoires sont une classe de lieux géométriques permettant de décrire l'évolution d'une position au cours du temps, dans le plan et dans l'espace.
Courbe paramétrée
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même intervalle $I \subseteq \mathbb{R}$. La courbe paramétrée $\Gamma$ est l'ensemble des points $M(f(t), g(t))$ tel que le paramètre $t$ fait partie de l'intervalle $I$. La courbe $\Gamma$ a pour représentation paramétrique le système d'équations paramétriques :
$$\Gamma \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = f(t) \\ y = g(t) \end{array} \right. \qquad (t \in I).$$On passe de ce système à une équation cartésienne par élimination du paramètre; l'opération inverse étant la paramétrisation. La courbe $\Gamma$ passe par un point double lorsque pour deux valeurs distinctes $t$ et $t'$, on a $f(t) = f(t')$ et $g(t) = g(t')$.
La courbe $\Gamma$ peut posséder plusieurs symétries :
- de centre $(0, 0)$ si $f(-t) = -f(t)$ et $g(-t) = -g(t)$ ;
- d'axe $x$ si $f(-t) = f(t)$ et $g(-t) = -g(t)$ ;
- d'axe $y$ si $f(-t) = -f(t)$ et $g(-t) = g(t)$.
Si les fonctions $f$ et $g$ sont périodiques, la courbe $\Gamma$ aura comme période la plus petite période commune (strictement positive).
Paramétrisation
Voyons comment paramétriser plusieurs courbes usuelles, dans un repère orthonormé du plan :
- La droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = (x_u, y_u)$ et passant par le point $A(x_A, y_A)$ : $$d \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = x_A + x_u t \\ y = y_A + y_u t \end{array} \right. \qquad (t \in \mathbb{R}).$$
- Le cercle $\mathbb{C}$ de centre $(0, 0)$ et de rayon $R$ : $$\mathbb{C} \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = R \cos t \\ y = R \sin t \end{array} \right. \qquad (t \in \mathbb{R}).$$
- L'ellipse $\mathbb{E}$ d'équation cartésienne $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$ : $$\mathbb{E} \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{array} \right. \qquad (t \in \mathbb{R}).$$
- L'hyperbole $\mathbb{H}$ d'équation cartésienne $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$ : $$\mathbb{H} \equiv \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x = \frac{a}{\cos t} \\[4mm] \displaystyle y = b \tan t \end{array} \right. \qquad \left( t \in \mathbb{R} \;\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \right).$$
- La parabole $\mathbb{P}$ d'équation cartésienne $y^2 = 2px$ : $$\mathbb{P} \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = 2p \cot^2 t \\ y = 2p \cot t \end{array} \right. \qquad \left( t \in \mathbb{R} \;\setminus \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \right).$$
Repérage polaire
Soit $\overline{x}$ une demi-droite du plan euclidien, fermée, graduée et dont l'origine est $O$. Tout point $P$ du plan cartésien, distinct de $O$, est repéré de manière unique par rapport à $\overline{x}$ grâce à :
- sa distance $r$ à l'origine $O$ ;
- l'angle orienté $\theta$ de la demi-droite $\overline{x}$ et de la demi-droite $[OP$.
L'axe polaire est la demi-droite $\overline{x}$ et le pôle est son origine $O$. Une coordonnée polaire est un couple $(r, \theta)$ où $r$ est le rayon polaire et $\theta$ est l'angle polaire.
Soit $(r, \theta)$ la coordonnée polaire de $P$ et $(x, y)$ sa coordonnée cartésienne dans le repère orthonormé tel que :
- l'axe $x$ contient l'axe polaire $\overline{x}$, les origines étant confondues, et $x$ et $\overline{x}$ étant orientées dans le même sens ;
- l'axe $y$ est orthogonal à $x$ en $O$.
On peut effectuer les conversions suivantes :
- polaire à cartésienne $$x = r \cos\theta \textrm{ et } y = r \sin\theta ;$$
- cartésienne à polaire $$r = \sqrt{x^2 + y^2} \textrm{ et $\theta$ tel que } \cos\theta = \frac{x}{r} \textrm{ et } \sin\theta = \frac{y}{r}.$$
On peut établir une équation polaire d'une courbe ou d'une droite du plan : $f(r, \theta) = 0$. Sur base de cette équation, on peut établir des éléments de symétrie :
- La droite contenant l'axe polaire est axe de symétrie de $\Gamma$ si et seulement si : $$f(r,\theta) = f(r,-\theta).$$
- Le pôle est centre de symétrie de $\Gamma$ si et seulement si : $$f(r,\theta) = f(r,\pi+\theta).$$
- La droite comprenant le pôle et perpendiculaire à l'axe polaire est axe de symétrie de $\Gamma$ si et seulement : $$f(r, \theta) = f(r, \pi - \theta).$$
Voici enfin quelques points particuliers d'une courbe :
- La courbe $\Gamma$ intersecte la droite $x$ contenant l'axe polaire lorsque : $$\theta = 0 \textrm{ ou } \theta = \pi.$$
- La courbe $\Gamma$ intersecte la droite $y$ perpendiculaire à l'axe polaire et passant par le pôle lorsque : $$\theta = \frac{\pi}{2} \textrm{ ou } \theta = \frac{3\pi}{2}.$$
- Les points de la courbe $\Gamma$ les plus éloignés horizontalement par rapport au pôle s'obtiennent pour les $\theta$ racines de la dérivée, par rapport $\theta$, de $r\cos\theta$.
- Les points de la courbe $\Gamma$ les plus éloignés verticalement par rapport à la droite contenant l'axe polaire s'obtiennent pour les $\theta$ racines de la dérivée, par rapport $\theta$, de $r\sin\theta$.
Voici un exemple de courbes dans le plan. L'équation de la spirale logarithmique est de la forme $\ln r = c\theta$ ou $r = e^{c\theta}$, pour une certaine constante $c \in \mathbb{R}^+$, ou encore :
$$\Gamma \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array} \right. \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = e^{c\theta} \cos\theta \\ y = e^{c\theta} \sin\theta. \end{array} \right.$$