Puissance
La $n$e puissance d'un nombre réel $a$, avec $n \in \mathbb{N}_0$, est le réel noté $a^n$ qui est le résultat de la multiplication de $a$ par lui-même $n$ fois :
$$a^n = \underbrace{\:a \times \cdots \times a\,}_{\textrm{$n$ fois}}.$$En particulier, $a^2$ est appelé le carré du nombre réel $a$, et $a^3$ son cube. Le nombre réel $a$ est appelé la base et le naturel $n$ l'exposant. De plus, par convention, $a^0 = 1$.
Les propriétés suivantes sont importantes pour résoudre des calculs impliquant des puissances :
- $a^m a^n = a^{m + n}$ ($a \in \mathbb{R}$ et $m, n \in \mathbb{N}$) ;
- $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ ($a \in \mathbb{R}_0$ et $m, n \in \mathbb{N}$) ;
- $(a^m)^n = a^{mn}$ ($a \in \mathbb{R}$ et $m, n \in \mathbb{N}$) ;
- $(ab)^n = a^n b^n$ ($a, b \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$) ;
- $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ($a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}_0$ et $n \in \mathbb{N}$).
Exposant négatif
On peut également considérer des exposants négatifs lorsque la base est non nulle. Soit $a \in \mathbb{R}_0$ et $n \in \mathbb{N}$, on a alors :
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$