Racine d'indice $n$
La racine $n$e d'un nombre réel $a$, avec $n \in \mathbb{N}_0$, est le nombre réel $b$ si et seulement si $b^n = a$. La racine d'indice $3$ est appelée racine cubique. On peut identifier plusieurs propriétés selon que $n$ est pair ou impair. Tout d'abord, quelque soit $n \in \mathbb{N}_0$ :
- le nombre $0$ admet une seule racine $n$e qui est $0$.
Ensuite, si $n$ est pair :
- aucun nombre réel strictement négatif n'admet de racine $n$e ;
- tout nombre réel strictement positif $x$ admet deux racines $n$e opposées qui sont notées $\sqrt[n]{a}$ et $-\sqrt[n]{a}$.
Enfin, si $n$ est impair :
- tout nombre réel $a$ admet une racine $n$e qui est notée $\sqrt[n]{a}$.
Exposant fractionnaire
Soient $m$ un nombre entier non nul et $n$ un nombre naturel tel que $n > 1$. Pour tout nombre réel strictement positif $a$, on définit l'exposant fractionnaire $\frac{m}{n}$ tel que :
$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}.$$Lorsque $m = 1$, on obtient les racines $n$e. Par exemple, $a^{1/2} = \sqrt{a}$ et $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Les propriétés des puissances s'étendent aux exposants fractionnaires :
- $a^m a^n = a^{m + n}$ ($a \in \mathbb{R}^+$ et $m, n \in \mathbb{Z}$) ;
- $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ ($a \in \mathbb{R}^+_0$ et $m, n \in \mathbb{Z}$) ;
- $(a^m)^n = a^{mn}$ ($a \in \mathbb{R}^+$ et $m, n \in \mathbb{Z}$) ;
- $(ab)^n = a^n b^n$ ($a, b \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{Z}$) ;
- $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ($a \in \mathbb{R}^+$, $b \in \mathbb{R}^+_0$ et $n \in \mathbb{Z}$).