Vecteur
Deux points $A$ et $B$ du plan ou de l'espace définissent le vecteur $\overrightarrow{AB}$. Le point $A$ est appelé origine du vecteur et le point $B$ extrémité. Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est appelé vecteur nul et est noté $\overrightarrow{0}$.
Un vecteur non nul possède :
- une direction (celle de la droite $AB$) ;
- un sens (de $A$ vers $B$) ;
- une longueur (celle du segment $[AB]$, notée $\| \overrightarrow{AB} \|$).
Soient les points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans un repère du plan. La première composante\index{vecteur!composante} du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $x_B - x_A$ et la deuxième est $y_B - y_A$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ peut être représenté par le couple de ses composantes :
$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A).$$Les composantes du vecteur nul sont nulles. Dans le plan, on a $\overrightarrow{0} = (0, 0)$ et dans l'espace, on a $\overrightarrow{0} = (0, 0, 0)$.
Soient les points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ dans un repère de l'espace. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ peut-être représenté par le triplet de ses composantes :
$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).$$Lorsqu'on ne désire pas mettre l'accent sur l'origine et l'extrémité d'un vecteur, mais seulement prendre en compte sa direction, son sens et sa longueur, on note alors $\overrightarrow{u} = (x_u, y_u)$ dans le plan et $\overrightarrow{u} = (x_u, y_u, z_u)$ dans l'espace. La longueur du vecteur, ou norme, se note alors $\|\overrightarrow{u}\|$.
Égalité
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Plusieurs propriétés sont liées à cette notion d'égalité de vecteurs :
- Si $A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points d'un plan non alignés trois à trois, alors : $$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} & \iff & \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB} \\ & \iff & ABCD \textrm{ est un parallélogramme}. \end{array}$$
- Dans un repère du plan (ou de l'espace), deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes composantes : $$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} & \iff & x_B - x_A = x_D - x_C, y_B - y_A = y_D - y_C \\ & & (\textrm{et $z_B - z_A = z_D - z_C$ dans l'espace}). \end{array}$$