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Produit scalaire

Commençons avec deux définitions :

  • Dans le plan ou dans l'espace, on appelle angle des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, l'angle $\widehat{EMF}$ si $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{0} \neq \overrightarrow{CD}$ et si $\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{CD}$.
  • De plus, le vecteur $\overrightarrow{EF}$ est la projection orthogonale du vecteur $\overrightarrow{CD}$ sur la droite $d$ si $E$ est la projection orthogonale de $C$ sur $d$ et $F$ est la projection orthogonale de $D$ sur $d$. Si le vecteur $\overrightarrow{CD}$ est parallèle à la droite $d$, alors $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CD}$.

Voyons maintenant comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$. Il s'agit d'un réel que l'on calcule comme suit :

  1. si les deux vecteurs sont parallèles, il est égal :
    • au produit de leurs longueurs s'ils ont le même sens ;
    • à l'opposé du produit de leurs longueurs s'ils sont de sens opposés ;
    • à zéro si l'un d'eux des nuls,
  2. si les deux vecteurs ne sont pas parallèles, il est égal au produit scalaire de l'un deux par la projection orthogonale de l'autre sur la droite contenant le premier : $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \cdot \cos \theta,$$ où $\theta$ est l'angle des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Dans tous les cas, dans un repère orthonormé, on a :

$$\begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & = & x_u x_v + y_u y_v \textrm{ (dans le plan)} ; \\ & = & x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$

Propriété

Trois propriétés peuvent être établies sur le produit scalaire :

  1. Tous les vecteurs $\overrightarrow{C_iD_i}$ qui ont la même projection orthogonale $\overrightarrow{EF}$ sur la droite $AB$ sont tels que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C_iD_i}$ est un réel constant.
  2. Si $A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan ou de l'espace, alors : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB},$$ c'est la propriété de commutativité.
  3. Si $A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan ou de l'espace, alors :
    • $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{GH}) = (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GH})$ ;
    • $k(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}) = (k\overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot (k\overrightarrow{CD})$,
    c'est la propriété de linéarité.

Vecteur orthogonaux

Si $A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan ou de l'espace, alors les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux si et seulement si les droites $AB$ et $CD$ sont orthogonales; et on note $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD}$. Cela revient à dire que le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ est nul.

Voici quelques propriétés :

  1. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
  2. Dans le plan ou l'espace, la droite $a$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est orthogonale à la droite $b$ de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.
  3. Dans l'espace, la droite $a$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est perpendiculaire au plan $\pi$ si et seulement si, pour tout vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\pi$, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.
  4. Dans l'espace, le plan $\pi$ comprenant le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l'ensemble des points $X$ tels que $\overrightarrow{AX} \cdot \overrightarrow{u} = 0$.
  5. Dans l'espace rapporté à un système orthonormé, tout plan admet une équation du type $ax + by + cz + d = 0$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels et $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$.
  6. Dans l'espace rapporté à un système orthonormé, toute équation $ax + by + cz + d = 0$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels et $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ est celle d'un plan $\pi$ de vecteur normal $\overrightarrow{u} = (a, b, c)$.