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Opération

Cette section présente plusieurs opérations qu'il est possible d'effectuer sur des vecteurs dans le plan ou l'espace.

Somme de vecteurs

La loi de Chasles définit comment sommer deux vecteurs :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$$

La loi se généralise à plusieurs vecteurs :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + ... + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN}.$$

Plusieurs propriétés sont utilisables lorsqu'on effectue des sommes de vecteurs :

  1. Si $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points du plan ou de l'espace tels que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, alors : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \iff ABCD \textrm{ est un parallélogramme}.$$
  2. Quels que soient les points $A$, $B$, ..., $F$ du plan, on a :
    • $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF})$ ;
    • $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}$.
  3. Les composantes de la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont égales à la somme de leurs composantes : $$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} & = & (x_u + x_v, y_u + y_v) \textrm{ (dans le plan)} ; \\ & = & (x_u + x_v, y_u + y_v, z_u + z_v) \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$

Vecteur opposé

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont opposés si leur somme est nulle :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.$$

L'opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est noté $-\overrightarrow{AB}$ et l'opposé du vecteur $\overrightarrow{u}$ est noté $-\overrightarrow{u}$. Deux propriétés peuvent être établies par rapport au vecteur opposé :

  1. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont opposés $\iff \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ;
  2. Les composantes de deux vecteurs opposés sont opposées : $$\begin{array}{rcl} -\overrightarrow{u} & = & (-x_u, -y_u) \textrm{ (dans le plan)}; \\ & = & (-x_u, -y_u, -z_u) \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$

Groupe commutatif

L'addition confère une structure de groupe commutatif aux vecteurs dans le plan (ou dans l'espace). Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$, alors :

  1. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est un vecteur du plan (ou de l'espace) ;
  2. $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$ ;
  3. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ ;
  4. $\overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}$ ;
  5. $-\overrightarrow{u}$ existe et $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0} = (-\overrightarrow{u}) + \overrightarrow{u}$.

Norme

La longueur ou norme d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ dans le plan se calcule par :

$$\begin{array}{rcl} \|\overrightarrow{AB}\| & = & \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \textrm{ (dans le plan)} ; \\[2mm] & = & \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$

Lorsqu'on note le vecteur $\overrightarrow{u}$, on a donc :

$$\begin{array}{rcl} \|\overrightarrow{u}\| & = & \sqrt{x_u^2 + y_u^2} \textrm{ (dans le plan)} ; \\[2mm] & = & \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2} \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$

Produit par un réel

Deux vecteurs sont parallèles si les droites qu'ils sous-tendent sont parallèles et le vecteur nul est parallèle à tout vecteur. La loi de colinéarité indique qu'étant donné trois points $A$, $B$ et $C$ du plan ou de l'espace et un réel $r \in \mathbb{R}$, on a :

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC} = r \overrightarrow{AB} & \iff & A, B \textrm{ et } C \textrm{ sont alignés et } \overline{AC} = |r| \overline{AB} ; \\ & & \textrm{les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont parallèles.} \end{array}$$

La loi du parallélisme indique qu'étant donné quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan ou de l'espace et un réel $r \in \mathbb{R}$, on a :

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{CD} = r \overrightarrow{AB} & \iff & AB \textrm{ et } CD \textrm{ sont des droites parallèles} ; \\ & & \overline{CD} = |r| \overline{AB} ; \\ & & \textrm{les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont parallèles.} \end{array}$$

De même, étant donné $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs non nuls du plan ou de l'espace et un réel $k \in \mathbb{R}$, on a :

$$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} & \iff & \textrm{les droites portant } \overrightarrow{u} \textrm{ et } \overrightarrow{v} \textrm{ sont parallèles} ; \\ & & \|\overrightarrow{u}\| = |k| \|\overrightarrow{v}\| ; \\ & & \textrm{les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont parallèles.} \end{array}$$

Plusieurs propriétés sont utilisables lorsqu'on effectue des produits de vecteur par un réel :

  1. Les composantes du produit d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ par un réel $k$ sont égales au produit des composantes du vecteur par le réel : $$\begin{array}{rcl} k\overrightarrow{u} & = & (k x_u, k y_u) \textrm{ (dans le plan)} ; \\ & = & (k x_u, k y_u, k z_u) \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$$
  2. Si $r$ et $s$ sont des réels, quels que soient les points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan ou de l'espace, alors :
    • $r\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AB} = (r + s) \overrightarrow{AB}$ ;
    • $r(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) = r\overrightarrow{AB} + r\overrightarrow{CD}$ ;
    • $r(s\overrightarrow{AB}) = (rs)\overrightarrow{AB}$ ;
    • $r\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \iff r = 0 \textrm{ ou } \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$.

Espace vectoriel

L'addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un réel confèrent une structure d'espace vectoriel aux vecteurs dans le plan (ou dans l'espace). En plus des propriétés de l'addition de vecteurs, on ajoute les suivantes. Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, et le réel $r \in \mathbb{R}$, alors :

  1. $r \overrightarrow{u}$ est un vecteur du plan (ou de l'espace) ;
  2. $(r + s) \overrightarrow{u} = r \overrightarrow{u} + s \overrightarrow{u}$ ;
  3. $r (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = r \overrightarrow{u} + r \overrightarrow{v}$ ;
  4. $r (s \overrightarrow{u}) = (rs) \overrightarrow{u}$ ;
  5. $1 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}$.

Milieu

Du théorème de Thalès, on peut obtenir les deux propriétés suivantes :

  1. Si les deux droites distinctes $d$ et $d'$ sont coupées par les droites parallèles $a$, $b$ et $c$ respectivement aux points $A$ et $A'$, $B$ et $B'$ et $C$ et $C'$, alors il existe un réel $k$ tel que : $$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \textrm{ et } \overrightarrow{A'C'} = k\overrightarrow{A'B'}.$$

  2. $M$ est le milieu du segment $[AB] \begin{array}[t]{ll} \iff & \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} ; \\ \iff & \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} ; \\ \iff & \displaystyle\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \end{array}$

    Et $\begin{array}[t]{rcl} M & = & \displaystyle \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \textrm{ (dans le plan)} ; \\ & = & \displaystyle \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \textrm{ (dans l'espace)}. \end{array}$